Soit c un cercle de rayon r. Est il possible de dessiner un rectangle du même périmètre que c et de même aire que c dans le cas où r=1 et où r est quelconque

Bonjour ;
Soit (C) un cercle de rayon : r > 0 ;
donc son périmètre est : 2 x π x r et son aire est : π x r² .
Soit (R) un rectangle de largeur u et de longueur v  ;
donc son périmètre est : 2 x (u + v) et son aire est : u x v .
Pour que le rectangle (R) ait même périmètre et même aire
que le cercle (C) , on doit avoir le système suivant :
2 x (u + v) = 2 x π x r et u x v = π x r² ;
donc : u + v = π x r et u x v = π x r² ;

donc : u et v sont les solutions de l'équation en second degré :
t² - (π x r) t + (π x r²) = 0 ;
donc : Δ = (π x r)² - 4(π x r²) = (π - 4) x π x r² < 0 ;
donc l'équation n'a pas de solution ;
donc on ne peut pas trouver un rectangle de même périmètre 
et de même aire que le cercle (C) , et ceci pour r quelconque
strictement positif y compris le cas où r = 1 .
Cet exercice est une version du problème de la quadrature du cercle .