Bonjour, Quelqu'un pourrait-il me venir en aide pour cette exercice? Prouver que cos^4x + sin^4x= 1-1/2sin^2*2x J'ai la correction sous les yeux, mais je compre

Rebonjour, 

Il faut en fait partir du terme de droite.

[tex]1- \frac{1}{2}sin^2*2x[/tex]

Tu mets sur le même dénominateur :

[tex]1- \frac{1}{2}sin^2*2x [/tex]
[tex]= \frac{2}{2} - \frac{1sin^2(2x)}{2} [/tex]
[tex]= \frac{2-sin^2(2x)}{2} [/tex]

Tu retournes une formule :

[tex]cos^2x+sin^2x = 1 [/tex]
[tex]-sin^2x = cos^2x-1[/tex]

Tu remplaces :

[tex] \frac{2+(cos^x-1)*2x}{2} [/tex]

Factorise cos²x - 1 en utlisant une identité remarquable.

[tex]cos^2x-1 = cos^2 -1^2 = \left(\cos \left(x\right)-1\right)\left(\cos \left(x\right)+1\right)[/tex]

[tex]= \frac{2-[(cos(x)-1)(cos(x)+1)]*2}{2} [/tex]

Tu distribues le 2.

[tex]= \frac{2-(cos(2x)-1)(cos(2x)+1)}{2}[/tex]

Maintenant, regardons le numérateur et simplifions le :

[tex]2-(cos(2x)-1)(cos(2x)+1)=2+(cos(2x)-1) (cos(2x)+1) [/tex]

Bah tu développes ici :

a² - b² = (a-b)(a+b) 

Ici, a = cos(2x) et b = 1

Donc ça donne : [tex] (cos(2x)-1) (cos(2x)+1) = cos^2(2x) - 1[/tex]

Puis on recontinue,

[tex]2 + cos^2(2x) - 1 = cos^2(2x) -1 + 2 = cos^2(2x) + 1 [/tex]

Du coup, maintenant on revient avec la fraction qui est maintenant beaucoup plus légère !!!!

[tex]= \frac{1+cos^2(2x)}{2} [/tex]

Mais on va recompliquer la chose ^^'. On sait que :

[tex]cos^2x+sin^2x = 1 [/tex]

Donc appliquons la ! 

[tex]= \frac{sin^2(2x)+cos^2(2x)+cos^2(2x)}{2} [/tex]

Après t'as du apprendre que : [tex]\sin \left(2x\right)=2\cos \left(x\right)\sin \left(x\right)[/tex]

Donc utilisons la !

[tex]\frac{\left(2\cos \left(x\right)\sin \left(x\right)\right)^2+2\cos ^2\left(2x\right)}{2}[/tex]

Le 2cos, c'est parce qu'on a addtioné les 2 cos ok ? :D

On simplifie maintenant ! Pour cela, on applique la règle : 

[tex]a^n*b^n= (a*b)^n [/tex]

ça donne :

[tex]= \frac{2^2cos^2(x)sin^2(x)+2cos^2(2x)}{2} [/tex]

[tex]= \frac{4cos^2(x)sin^2(x)+2cos^2(2x)}{2}[/tex]

Occupe toi à nouveau du numérateur et factorise le par 2 !

[tex]4cos^2(x)sin^2(x)+2cos^2(2x) = 2(cos^2(x)sin^2(x)+cos^2(2x)[/tex]

Tu reviens à la fraction, ça donne :

[tex]\frac{2(cos^2(x)sin^2(x)+cos^2(2x)}{2} [/tex]

Tu simplifies par 2 :

[tex]= cos^2(x)sin^2(x)+cos^2(2x)[/tex]
[tex]=\cos ^2\left(2x\right)+2\cos ^2\left(x\right)\sin ^2\left(x\right)[/tex]

Puis, tu vas utiliser ça : [tex]\cos \left(2x\right)=\cos ^2\left(x\right)-\sin ^2\left(x\right)[/tex]

[tex]=\left(\cos ^2\left(x\right)-\sin ^2\left(x\right)\right)^2+2\cos ^2\left(x\right)\sin ^2\left(x\right)[/tex]

Tu simplifies encore une fois !!!!!!!

[tex]\left(\cos ^2\left(x\right)-\sin ^2\left(x\right)\right)^2+2\cos^2\left(x\right)\sin ^2\left(x\right)[/tex]

[tex]= \left(\cos ^2\left(x\right)-\sin ^2\left(x\right)\right)^2[/tex]
[tex]=\cos ^4\left(x\right)-2\cos ^2\left(x\right)\sin ^2\left(x\right)+\sin ^4\left(x\right)[/tex]


On applique cette formule : [tex] \left(a-b\right)^2=a^2-2ab+b^2[/tex]

[tex]=\left(\cos ^2\left(x\right)\right)^2-2\cos ^2\left(x\right)\sin ^2\left(x\right)+\left(\sin ^2\left(x\right)\right)^2[/tex]

Et tu resimplifies !!!! (J'en ai marre de simplifier autant !)

Pour cela tu utilises ça : [tex]\left(a^b\right)^c=a^{bc}[/tex]

[tex]\left(\cos ^2\left(x\right)\right)^2=\cos ^4\left(x\right)[/tex]

[tex](sin^2(x)^2))^2 = sin^4(x) [/tex]

On obtient donc :

[tex]=\cos ^4\left(x\right)-2\cos ^2\left(x\right)\sin ^2\left(x\right)+\sin ^4\left(x\right)+2\cos ^2\left(x\right)\sin ^2\left(x\right)[/tex]

Tu regroupes les termes :

[tex]= \cos ^4\left(x\right)+\sin ^4\left(x\right)-2\cos ^2\left(x\right)\sin ^2\left(x\right)+2\cos ^2\left(x\right)\sin ^2\left(x\right)[/tex]

Il n'y donc plus de : [tex]2\cos ^2\left(x\right)\sin ^2\left(x\right)[/tex]

Et enfin on obtient :

[tex]= \boxed {cos^4(x)+sin^4(x)}[/tex]

J'espère t'avoir aidé !

Dreamus