soit n un entier non nul et la fonction fn (x)=x^5+nx-1 etudier les variations de fn et en déduire que il existe Un appartient à R tel que fn (Un)=0 vérifier qu

Bonjour,

dérivée : fn'(x) = 5x⁴ + n

s'annule si x⁴ = -n/5

2 cas :

1) n > 0 : pas de solution (x⁴ ≥ 0) donc fn strictement croissante

2) n < 0 : 2 solutions x = + ou - racine 4ème de (-n/5)

donc fn croissante sur ]-∞ ; -(-n/5)^1/5[ puis décroissante sur ] -(-n/5)^1/5 ; (-n/5)^1/5[, puis enfin croissante sur ] (-n/5)^1/5 ; +∞[.

Ci-joint f₋₅ en bleu et f₅ en rouge pour exemples.

2nde question :

lim fn quand x → -∞ = lim x⁵ = -∞

et lim fn quand x → +∞ = +∞

Donc :

1er cas : fn croissante sur R ⇒ il existe un unique Un / fn(Un) = 0

2nd cas : il existe au moins une valeur Un / fn(Un) = 0

(pour f₋₅ il y a 2 valeurs, pour f₋₁ une seule)

Sans précision j'ai pris n entier relatif. Si n ∈ N*, soit n > 0, alors plus simplement, f'n(x) > 0 ⇒ fn strictement croissante ⇒ avec les limites en - et +∞, on en déduit qu'il existe une unique valeur Un / fn(Un) = 0

(théorème des valeurs intermédiaires)