Bonjour, j'ai un Dm de maths avec un exercice que je ne comprend pas du tout, j'ai essayé mais je ne comprends pas, pouriez vous m'aider ? Sur une droite D muni
Mathématiques
lxadu7384
Question
Bonjour, j'ai un Dm de maths avec un exercice que je ne comprend pas du tout, j'ai essayé mais je ne comprends pas, pouriez vous m'aider ?
Sur une droite D munie d'un repère, on considère les points M0 et M1 d'abscisses respectives 0 et 1. M2 est le milieu du segment [M0M1] et pour tout entier n >3, Mn est le milieu du segment [Mn-1M1]. On note xn l'abscisse du point Mn.
a. Reproduire la figure ci-dessous et placer les points M2, M3, M4 et M5. Alors mou j'ai mis M2=0.5 (je ne sais pas si c'est bon)
b. Calculer, x2,x3,x4 et x5.
c. Conjecturer, pour tout entier n2, une expression de xn en fonction de n, puis la démontrer.
Je ne comprends car ca sort du cadre si vous pouvez m'aider, merci d'avance
Sur une droite D munie d'un repère, on considère les points M0 et M1 d'abscisses respectives 0 et 1. M2 est le milieu du segment [M0M1] et pour tout entier n >3, Mn est le milieu du segment [Mn-1M1]. On note xn l'abscisse du point Mn.
a. Reproduire la figure ci-dessous et placer les points M2, M3, M4 et M5. Alors mou j'ai mis M2=0.5 (je ne sais pas si c'est bon)
b. Calculer, x2,x3,x4 et x5.
c. Conjecturer, pour tout entier n2, une expression de xn en fonction de n, puis la démontrer.
Je ne comprends car ca sort du cadre si vous pouvez m'aider, merci d'avance
1 Réponse
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1. Réponse scoladan
Bonjour,
a) voir ci-joint
M2 milieu de [M0M1]
M3 milieu de [M2M1]
M4 milieu de [M3M1]
etc...
b) x2 = (x0 + x1)/2 = (0 + 1)/2 = 1/2
x3 = (x2 + x1)/2 = (1/2 + 1)/2 = (3/2)/2 = 3/4
x4 = (x3 + x1)/2 = (3/4 + 1)/2 = (7/4)/2 = 7/8
x5 = (x4 + x1)/2 = (7/8 + 1)/2 = (15/8)/2 = 15/16
c) on peut alors conjecturer : xn = (2ⁿ⁻¹ - 1)/2ⁿ⁻¹
Au rang n = 2 : (2²⁻¹ - 1)/2²⁻¹ = 1/2 = x1 donc vrai au rang 2
Hypothèse ; Vrai au rang n
Au rang n+1 :
x(n+1) = (xn + x1)/2 = [(2ⁿ⁻¹ - 1)/2ⁿ⁻¹ + 1]/2 d'après l'hypothèse de récurrence
= (1 - 1/2ⁿ⁻¹ + 1)/2
= 1 - 1/2ⁿ
= (2ⁿ - 1)/2ⁿ
= [(2⁽ⁿ⁺¹⁾⁻¹ - 1]/2⁽ⁿ⁺¹⁾⁻¹
récurrence démontrée
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