Bonjour à tous, est ce que quelqu'un peut m'aider à faire cet exercice: 1)Le nombre d'or est le nombre irrationnel noté par la lettre grecque Φ (phi). Φ= 1+√5 /
Question
1)Le nombre d'or est le nombre irrationnel noté par la lettre grecque Φ (phi).
Φ= 1+√5 /2
Q1. Donne une valeur approchée à 10−6 près du nombre d'or.
2)Construis un carré ABCD de côté 1 dm. On appelle I le milieu du segment [AB]
• Trace le cercle de centre I, de rayon [IC]. Ce cercle coupe la demi-droite [AB) en E.
• Construis le rectangle AEFD.
Q2. Calcule la valeur exacte de IC puis démontre que AE = DF = 1+√5 2
Remarque : le rectangle AEFD est appelé rectangle d'or car la proportion entre sa longueur et sa largeur est égal au nombre d'or.
3) Le nombre d'or, solution d'un équation:
Q3. Montre que le nombre d'or est solution de l'équation x2−x−1=0
Mes réponses:
1) Q1. Φ= 1+√5 /2
Φ=1,618033989
Φ(valeur approchée à 10-6)=1,61803
1 Réponse
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1. Réponse taalbabachir
1) le nombre d'or : Φ = (1 + √5)/2 = 1.618033
2) calculer la valeur exacte de IC
IBC triangle rectangle en B ⇒ théorème de Pythagore
IC² = IB² + BC² = (1/2)² + 1 = 1/4 + 1 = 5/4 ⇒ IC = √5/2
Puis démontrer que AE = DF = 1 + √5)/2
notant a : le côté du carré ABCD
AE/AD = AI + IE)/AD = (a/2 + a√5/2) /a = (1 + √5)/2
DF/EF = DC + (AE - AB))/EF = a + (a/2 + a√5/2 - a))/a = a - a/2 + a√5/2)/a
= a/2 + a√5)/2)/a
= (1 + √5)/2
Donc AE = DF = (1 + √5)/2
3) montre que le nombre d'or est solution de l'équation
x² - x - 1 = 0
Le nombre d'or Ф = (1 + √5)/2
[(1 + √5)/2]² - (1 + √5)/2 - 1 = 0
(1+√5)²/4 - (1 + √5)/2 - 1 = 0
1 + 2√5 + 5)/4 - (1 + √5)/2 - 1 = 0
6 + 2√5)/4 - 2(1 + √5)4 - 4/4 = 0
⇔ (6 + 2√5 - 2 - 2√5 - 4)/4 = 0
⇔ (6 - 6 + 2√5 - 2√5)/4 = 0
0/4 = 0 ⇒ 0 = 0 ⇒ Le nombre d'or est solution de l'équation