bonjour lexo est le suivant on definit la suite un par u0= 0 et pour tout n >0 par un+1 = racine de 4 + un^2 conjecturez une expression de un en fonction de n p

Bonjour,

pour conjecturer une expression de Un, on va calculer les premiers termes :

U0 = 0

U1 = √(4 + U0²) = √4 = 2

U2 = √(4 + 2²) = √8 = 2√2

U3 = √(4 + 8) = √12 = 2√3

U4 = √(4 + 12) = √16 = 4 qu'on peut aussi écrire 2√4

U5 = √(4 + 16) = √20) = 2√5

etc...

on peut donc conjecturer que Un = 2√n

Ce qu'on va essayer de démontrer par récurrence.

Au rang n = 0, U0 = 0 et 2√0 = 0 donc on a bien U0 = 2√0, propriété vérifiée

Hypoyhèse : On suppose que la propriété est vraie au rang n, soit Un = 2√n

Au rang (n + 1) :

Un+1 = √[4 + Un²]

= √[4 + (2√n)²] par hypothèse de récurrence

= √[4 + 4n]

= √[4(1 + n)]

= 2√(n + 1)

⇒ hérédité démontrée