bonjour a tous, alors voila j'ai un dm de maths en spécilaité a faire et autant vous vous dire que j'ai du mal ! voici l'énoncé : Soit N un nombre s'inscrivant
Question
voici l'énoncé :
Soit N un nombre s'inscrivant avec trois chiffres distincts non nuls ainsi que les 5 nombres différents s'écrivant avec les mêmes chiffres que N. La somme de ces 5 derniers nombres est égale à 1607.
1/ A- On note S la somme des chiffres de N. Justifier que 5S est congru ( je vais mettre = a la place ) à 1607 modulo 9.
B- En déduire que S est égale à 1, 10 ou 19
2/ A- Démontrer que la somme des 6 nombres est égale à 222S
B- En déduire S, puis N
3/ On considère cette fois un nombre des 4 chiffres distincts non nuls. La somme de tous les nombres différents s'écrivant avec les mêmes chiffres est égale à 154 056.
pour la question 1, j'ai commencer par faire :
N= abc et les 5 autres chiffres sont : acb, bac, bca, cab, cba
N s'écri
1 Réponse
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1. Réponse scoladan
Bonjour,
1)a)
acb + bac + bca + cab + cba = 1607
⇒ (100a + 10c + b) + (100b + 10a + c) + (100b + 10c + a) + .... = 1607
⇔ 122a + 212b + 221c = 1607
⇔ (9x13 + 5)a + (9x23 +5)b + (9x24 + 5)c = 1607
⇔ 9(13a + 23b + 24c) + 5S = 1607
⇒ 5S ≡ 1607 [9]
b) 1607 = 178x9 + 5 ⇒ 1607 ≡ 5 [9]
⇒ 5S ≡ 5 [9]
⇒ S ≡ 1 [9], soit S = 9k + 1
Or S ≤ 9 + 8 + 7 soit S ≤ 24 (car a≠b≠c≠0)
⇒ S = 1 ou S = 10 ou S = 19 (S = 1 impossible car sinon 2 des 3 chiffres a, b ou c devraient être nuls, léger bug d'énoncé..)
2) a) idem 1)a) donc .... = 222S
b) 222S = 1607 + abc
S = 10 ⇒ abc = 2220 - 1607 = 613
S = 19 ⇒ abc = 4218 - 1607 = 2611 impossible car 4 chiffres
Donc S = 10 et N = 613
(on vérifie bien que S = 6+1+3 = 10 et que 5S = 50 ≡ 5 [9] donc ≡ 1607 [9]
Et je te laisse la question 3)...