Bonjour! Je n'arrive pas à faire cet exercice, pouvez vous m'aider svp? OABC est un tétraèdre dont les faces OAB,OAC,OBC sont des triangles restangles et isocèl

Bonjour,

1) Nous allons considérer le triangle AOB rectangle en O donc par Pythagore, nous pouvons écrire que:
AB²=AO²+OB² avec AO=OB=a donc
AB²=a²+a²
AB²=2a²
AB=a√2

Comme ABC est un triangle équilatéral donc AB=BC=AC=a√2


2) Le volume d'un tétraèdre est donné par:
V=(1/3)×B×H 
 B est l'aire de la base et H la hauteur par rapport à cette base

On considère que la base est le triangle AB rectangle et isocèle en O donc:
V=(1/3)×(a²/2)×a
V=a³/3


3) Comme H est la hauteur issus de O du triangle rectangle isocèle OCB donc (OH)⊥(BC) donc OHB est un triangle rectangle en H. De plus, on sait que H milieu de [BC] donc [BH]=a/2. On va appliquer le théorème de Pythagore à ce triangle donc:
OB²=OH²+BH²
OH²=OB²-BH²
OH=√(OB²-BH²) avec OB=a et BH=a/2
OH=√(a²-(a√2/2)²)
OH=√(a²-a²/2)
OH=√(a²/2)
OH=a√(1/2)
OH=(a/2)√2
On se place ensuite dans le triangle AOH rectangle en O donc par Pythagore:
AH²=AO²+OH²
AH=√(AO²+OH²)
AH=√(a²+((a√2)/2)²)
AH=√(a²+2a²/4)
AH=√(6a²/4)
AH=a(√6)/2----->CQFD

4) L'aire du triangle équilatéral ABC est donnée par:
A(ABC)=(B×h)/2
A(ABC)=[AB]×[AH]/2
A(ABC)=[(a√2)×(a√6)/2]/2
A(ABC)=(a²√12)/4
A(ABC)=2a²√3/4
A(ABC)=(a²√3)/2

5) Comme le volume du tétraèdre OABC est:
V(OABC)=(1/3)×A(ABC)×H
H=3V(ABC)/(A(ABC))
H=3×(a³/3)/((a²√3)/2)
H=a³/((a²√3)/2)
H=2a³/(a²√3)
H=2a/√3
H=(2√3a)/3