Bonjour, Pouvez vous m aider s il vous plait je bloque sur cette exercice : Pour réduire la circulation des véhicules dans le centre d'une petite ville, la muni
Mathématiques
bidoune2473
Question
Bonjour, Pouvez vous m aider s il vous plait je bloque sur cette exercice : Pour réduire la circulation des véhicules dans le centre d'une petite ville, la municipalité envisage de construire une déviation. Les propriétaires des terrains situés dans la zone où passera la déviation sont prévenus de ce projet. On propose au propriétaire d'un terrain rectangulaire ABCD d'une longueur de 20m et d'une largeur de 10m, de modifier sont terrain en retirant x mètres a la longueur et en ajoutant x mètres a la largeur. Il deviendrait un alors propriétaire d'un nouveau terrain rectangulaire. Le but de l'exercice est de connaitre pour quelles valeurs de x le propriétaire obtient un nouveau terrain d'aire supérieure a l'aire de l'ancien terrain. 1. Préciser dans quel intervalle I peut varier x, afin que la modification soit réalisable. 2. Exprimer en m2, l'aire du nouveau terrain en fonction de x. On notera f(x) le résultat. 3. Vérifier que pour tout nombre réel x de I, f(x)=-x^2+10x+200. 4. Etudier le sens de variation de f sur l'intervalle [0,20] et dresser le tableau de variation de f.
1 Réponse
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1. Réponse Aftershock
1. Grâce aux informations du sujet, on peut ainsi donner l'expression de l'aire du nouveau rectangle. On sait que pour calculer l'aire d'un rectangle il faut utiliser la formule suivante :
Aire = Longueur×Largeur
Je peux ainsi donner l'expression de l'aire du nouveau rectangle ABCD :
Aire = (20-x)×(10+x)
On sait qu'une mesure ne peut pas être nulle ou négative, il faut donc que la valeur de x soit strictement inférieure à 20 (car 20-x donc 20-20 = 0, ce qui n'est pas envisageable). On peut ainsi dire que x ∈ [0 ; 20[.
2. Je peux utiliser l'expression trouvée précédemment afin de calculer l'aire du rectangle en fonction de x :
f(x) = (20-x)×(10+x)
f(x) = 20×10+20×x-x×10-x×x
f(x) = 200+20x-10x-x²
f(x) = -x²+10x+200
3. Vérifié précédemment.
4. Pour étudier les variations d'une fonction, il me suffit de calculer sa dérivée et d'étudier son signe. On sait que si une fonction dérivée est positive, alors la fonction de référence sera croissante et inversement.
Je dérive f(x) =
f(x) = -x²+10x+200
f'(x) = -2×x^(2-1)+10×1+0
f'(x) = -2x+10
Afin d'étudier le signe de f'(x), il me suffit de résoudre l'inéquation f'(x) > 0.
f'(x) > 0
-2x+10 > 0
-2x > -10
-x > -10/2
Lorsque je multiplie les deux membres d'une inéquation par (-1), le sens de l'inéquation change.
x < 10/2
x < 5
f'(x) est donc positive sur l'intervalle ]5 ; +∞[ et donc négative sur ]-∞ ; 5].
f(x) est alors croissante sur ]-∞ ; 5], admet un maximum en x = 5, et est décroissante sur ]5 ; +∞[.