Bonjour jai besoin daide poir ce 3eme exo.je narrive pas a calculer les coordonees de N, ni montrer que MNP sont alignes et jarrive pas a la 3)Merci d'avance a

Bonjour,
Selon moi la figure est juste
2) attention, dans cette réponse toutes les notations  sont des vecteurs
pour calculer les coordonnées des points dans le nouveau repère, le plus simple est d'utiliser les vecteurs :
un point X (x,y) dans le repere (B,C,A) se traduit donc par 
BX=x. BC+y. BA (ce sont des vecteurs)

B(0;0)
A(0;1)
C(1;0)

en notation vectorielle on a AM= 1/2AC donc 
BM=BA+AM= BA+1/2AC= BA+1/2(AB+BC) = BA-1/2BA+1/2BC =1/2BC+1/2BA
donc M(1/2 ; 1/2)
par construction, on a BN=2.BC donc N(2;0)

P et Q appartiennent à [AB] donc AP=PQ=QB=1/3 AB (en notation vecteur)
donc BP= BA+AP=AB+1/3AB=BA-1/3BA= 2/3BA
donc P(0; 2/3)
avec le même raisonement , on trouve Q(0;1/3)

2b) les poinst sont alignés si les vecteurs sont colinéaires
on cacule les coordonnées des 2 vecteurs 
PN (2; -2/3)
MN (3/2 ; -1/2)

on remarque que : PN = 4/3 MN 
donc les vecteurs sont colinéaires et donc les points P,N,M sont alignés
Q3)
attention, dans cette réponse toutes les notations  sont des distances
on remarque que CN=CB (en distance) car N est le symetrique
CA=CB (en distance) car ABC est equilateral donc 
CN=CB=CA 
Docn A, B, N appartiennent au cercle de centre C 
avec B,C,N alignés donc [BN] est un diametre
donc par définition ABN est un triangle rectangle en A

donc d’après le théorème de pythagore 
AN²+AB²=BN²
donc AN²=4a²-a²=3a² 
donc AN=√3.a

j'espère avoir été clair
bon courage