Bonjour à tous, Ce matin nous avons débuter une nouvelle notion en math, et je peux vous dire que je n'ai pas tout compris. Énoncé: La suite (Un) est définie pa

Bonjour,
le principe de la démonstration par récurrence est à connaitre en effet… La démo se passe TOUJOURS de la même façon, suivant 4 étapes :
1) Initialisation
2) Hypothèse de récurrence
3) hérédité
4) Conclusion

Dans l'initialisation, tu démontres que ta propriété (à prouver) est juste au premier rang. Dans l'hypothèse de récurrence, tu supposes que la propriété à démontrer est vrai au rang k (parfois on note le rang n, c'est la même chose). Dans l'hérédité, tu dois montrer que, si la propriété est vraie au rang k, alors elle est aussi vraie au rang k+1. 
Ainsi, comme la propriété est vraie au rang 1, elle est vraie au rang 2, donc au rang 3 etc jusqu'au rang n (infini).

faisons ensemble ta 1ère récurrence:
Propriété à montrer : Notons "Pn : Un = 1/(n+1)"
Initialisation : au rang n=O, on a  Uo =1
et  1/(0+1) = 1 
donc on a bien Uo = 1/(0+1) donc la propriété est vraie au rang O (P0 est vraie).
Hypothèse de récurrence : supposons, pour k un entier naturel, que Pk soit vraie, c'est-à-dire Uk = 1/(k+1)
Hérédité (on veut montrer que U(k+1) = 1/(k+2) ) :
U(k+1) = Uk/U(k+1)       d'après l'énoncé
            = ( 1/(k+1) ) / U(k+1)   par hypothèse de récurrence
            = 1 / ((k+1)*U(k+1))
            = 1 / (k+2)
Donc P(k+1) est vraie.
Conclusion: la propriété Pn est vraie pour tout entier naturel n.

Pour la 2ème, il faut procéder de même: on note Pn: "Un= 9/2 x 3^n - 5/2"
Et on fait les 4 étapes.