Bonjour à tous, j'ai un devoir maison sur la trigonométrie à rendre lundi et je suis complètement perdu. J'aurais éventuellement besoin de votre aide pour répon
Mathématiques
Sch1981
Question
Bonjour à tous, j'ai un devoir maison sur la trigonométrie à rendre lundi et je suis complètement perdu. J'aurais éventuellement besoin de votre aide pour répondre aux questions. Merci d'avance
Voici les questions :
1)a)résoudre dans R l'équation 2cos(4x)-1=0
b)Déterminer les mesures principales des solutions
2)On rappelle la relation vraie pour tout réel a: cos(2a)=2cos^2(a)-1
En remarquant que cos(4a)=cos(2(2a),démontrer que:cos(4x)=8cos^4(x)-8cos^2(x)+1
3)Soit P une fonction définie sur R par P(x)=16x^4-16x^2+1
Résoudre l'équation P(x)=0 (On pourra poser X=x^2)
4)démontrer que pour tout réel x, P(x) =2(8x^4-8x^2+1)-1
5) Utiliser les résultats des questions 2 et 4 pour calculer l'image par P de cos(pi/12)
6)déduire de la question 3 la valeur exacte de cos(pi/12)
7) calculer également les images par P de cos(5pi/12), cos(7pi/12) et cos de 11pi/12, puis en deduire les valeurs exactes de ces nombres
Je n'ai pas l'habitude de demander de l'aide mais là je pédale dans la choucroute. Merci d'avance pour votre aide
Voici les questions :
1)a)résoudre dans R l'équation 2cos(4x)-1=0
b)Déterminer les mesures principales des solutions
2)On rappelle la relation vraie pour tout réel a: cos(2a)=2cos^2(a)-1
En remarquant que cos(4a)=cos(2(2a),démontrer que:cos(4x)=8cos^4(x)-8cos^2(x)+1
3)Soit P une fonction définie sur R par P(x)=16x^4-16x^2+1
Résoudre l'équation P(x)=0 (On pourra poser X=x^2)
4)démontrer que pour tout réel x, P(x) =2(8x^4-8x^2+1)-1
5) Utiliser les résultats des questions 2 et 4 pour calculer l'image par P de cos(pi/12)
6)déduire de la question 3 la valeur exacte de cos(pi/12)
7) calculer également les images par P de cos(5pi/12), cos(7pi/12) et cos de 11pi/12, puis en deduire les valeurs exactes de ces nombres
Je n'ai pas l'habitude de demander de l'aide mais là je pédale dans la choucroute. Merci d'avance pour votre aide
1 Réponse
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1. Réponse greencalogero
Bonjour,
1) Nous allons l'équation suivante:2cos(4x)-1=02cos(4x)=1cos(4x)=1/2
comme on a:cos(π/3)=1/2 et cos(5π/3)=1/2, on peut écrire:cos(4x)=cos(π/3)=cos(5π/3)Il vient alors les solution:4x=(π/3)+2kπ avec k∈Z4x=(5π/3)+2kπ avec k∈Zdonc:x=(π/12)+(1/2)kπ
x=(5π/12)+(1/2)kπ
b) La mesure principale pour la 1ère solution est telle que:-π≤(π/12)+(1/2)kπ≤π-π≤π((1/2)k+1/12)≤π-1≤1/12+(1/2)k≤1-13/12≤(1/2)k≤11/12-26/12≤k≤22/12-3<k<2 car k∈ZSi k=-2 donc x=(π/12)-π=-11π/12Si k=-1 donc x=(π/12)-(1/2)π=-5π/12Si k=0 donc x=π/12Si k=1 donc x=(π/12)+(1/2)π=7π/12Les mesures principales pour la 2nd solution sont:-π≤(5π/12)+(1/2)kπ≤π-1≤(5/12)+(1/2)k≤1-17/12≤(1/2)k≤7/12-34/12≤k≤14/12-3<k<2 car k∈ZSi k=-2 alors x=(5π/12)-π=-7π/12Si k=-1 alors x=(5π/12)-(1/2)π=-π/12Si k=0 alors x=5π/12Si k=1 alors x=(5π/12)+(1/2)π=11π/12
2) cos (4x)=cos(2(2x)) car cos(2(2a))=2cos²a-1cos(4x)=2 cos²(2x)-1
cos(4x)=2(2cos²x-1)²-1 car cos(2(2a))=2cos²a-1cos(4x)=2(4cos⁴x-4cos²x+1)-1cos(4x)=8cos⁴x-4cos²x+2-1cos(4x)=8cos⁴x-8cos²x+1-----> CQFD
3) Soit l'équation telle que:P(x)=0
16x⁴-16x²+1=0on pose X=x² donc:16X²-16X+1=0Δ=b²-4ac=(-16)²-4(16)(1)=256-64=192X(1)=(-b-√Δ)/2a=(16-√192)/32=(2-√3)/4X(2)=(-b+√Δ)/2a=(16+√192)/32=(2+√3)/4Comme on a X=x²:x(1)=√(2-√3)/2≈0.259x(2)=-√(2-√3)/2≈-0.259
x(3)=√(2+√3)/2≈0.966x(4)=-√(2+√3)/2≈-0.966
4) On part de la relation donnée dans énoncé donc:P(x)=16x⁴-16x²+1P(x)=16x⁴-16x²+1+1-1P(x)=16x⁴-16x²+2-1P(x)=2(8x⁴-8x²+1)-1---->CQFD
5) P(cos(π/12))=2(8cos⁴(π/12)-8cos²(π/12)+1)-1Comme on a cos(4x)=8cos⁴x-8cos²x+1 donc:P(cos(π/12))=2(cos(4×π/12))-1P(cos(π/12)=2cos(π/3)-1P(cos(π/2)=2×(1/2)-1 car cos(π/3)=1/2P(cos(π/12)=1-1P(cos(π/12)=0
6) Par 3, on a donc le cos(π/12) qui est une des 4 solutions trouvées. Sur le cercle trigonométrique, l'angle π/12 est dans le cadran 1 et très proche de l'angle 0 et π dont le cosinus est 1 donc le cos(π/12) est proche de 1 donc on déduit alors facilement que:cos(π/12)=√(2+√3)/2
7) P(cos(5π/12))=2(8cos⁴(5π/12)-8cos²(5π/12)+1)-1P(cos(5π/12))=2(cos(4×5π/12))-1P(cos(5π/12))=2(cos(5π/3))-1P(cos(5π/12))=1-1P(cos(5π/12))=0(5π/12) est dans le cadran 1, donc son cosinus est positif, très proche de (pi/2) dont la valeur du cosinus est 0. La question 3 nous donne alors la solution:cos(5π/12)=√(2-√3)/2
P(cos(7π/12))=2(8cos⁴(7π/12)-8cos²(7π/12)+1)-1P(cos(7π/12))=2(cos(4×7π/12))-1P(cos(7π/12))=2(cos(7π/3))-1P(7π/12)=2(cos(7π/3-2π))P(cos(7π/12))=1-1P(cos(7π/12))=0(7π/12) se situe dans le cadran II, donc son cosinus est négatif, très proche de π/2, son cosinus sera très proche de 0 mais négatif, on déduit de 3 que:cos(7π/12)=x(2)=-√(2-√3)/2
P(cos(11π/12))=2(8cos⁴(11π/12)-8cos²(11π/12)+1)-1P(cos(11π/12))=2(cos(4×11π/12))-1P(cos(11π/12))=2(cos(11π/3))-1P(11π/12)=2(cos(11π/3-2π))P(cos(11π/12))=1-1P(cos(11π/12))=0(11π/12) se situe dans le cadran III, donc son cosinus est négatif, proche de π donc son cosinus est proche de -1, on déduit alors de 3 que:cos(11π/12)=-√(2+√3)/2