Bonjour, j'ai besoin d'aide pour les questions 2)b et c ainsi que 3) à et b et 4). Merci

voici la reponse
1) La population v(n) de B se modifie comme suit :
comme 3/10 s'en vont vers A, il y en a 7/10 qui restent : (7/10)v(n)
en contrepartie, elle reçoit 20% ou 1/5 de la population A u(n) : (1/5)u(n).
Le total de sa population l'année suivante s'élève donc à (7/10)v(n) + (1/5)u(n).
Même raisonnement pour la population u de A.
Pour alléger l'écriture :
u(n+1) = 0.8u(n) + 0.3v(n)
v(n+1) = 0.7v(n) + 0.2u(n)

2a) Aucune fourmi ne sort de l'ensemble formé par A et B et aucune n'y entre. La population totale r(n) est donc constante. Il faut le démontrer formellement.
v(n) = r(n)-u(n)
u(n+1) = 0.8u(n) + 0.3v(n)
= 0.8u(n) + 0.3)(r(n)-(un))
= 0.3u(n) + 0.3r(n) - 0.3u(n)
= 0.5u(n) + 0.3r(n)
------
v(n+1) = 0.7v(n) + 0.2u(n)
= 0.7(r(n)-u(n)) + 0.2u(n)
= 0.7r(n) - 0.7u(n) + 0.2u(n)
= 0.7r(n) - 0.5u(n)
------
en additionnant les deux résultats (somme = r(n+1)), on retrouve r(n)

2b) -2u(n+1) = -2(0.8u(n)+0.3v(n))
3v(n+1) = 3(0.7v(n)+(0.2u(n))
en additionnant après développement : t(n+1) = -1u(n) + 1;5v(n)
t(n+1) est donc 2 fois plus grand que t(n)
le premier terme u(0) est (-2 * 230 millions) + (3 * 180 millions)

c) On a un système de deux équations :
u(n)+v(n) = r(n) = 410 millions
-2u(n)+3v(n) = 80 millions / 2n

Bonjour,

2) b)

Tn= -2Un + 3Vn

⇒ Tn+1 = -2Un+1 + 3Vn+1

= -2(4Un/5 + 3Vn/10) + 3(Un/5 + 7Vn/10)

= -5Un/5 + 15Vn/10

= 5/10 x [-2Un + 3Vn]

= (Tn+1)/2

donc (Tn) géo de raison 1/2 et de premier terme T₀ = -100 milliers

c) Tn = -100 x (1/2)ⁿ

et Sn = 500

3) 3Sn - Tn

= 3(Un + Vn) + 2Un - 3Vn

= 5Un

et 2Sn + Tn = 2(Un + Vn) - 2Un + 3Vn = 5Vn

b) on en déduit :

Un = (3Sn - Tn)/5 = (3x500 + 100x(1/2)ⁿ)/5 = 300 + 20x(1/2)ⁿ

Vn = (2Sn + Tn)/5 = (2x500 - 100x(1/2)ⁿ)/5 = 200 - 20x(1/2)ⁿ

4) voir ci-joint

on peut conjecturer : lim Un = 300 et lim Vn = 200