bonjour a tous jai besoin daide svp de toute urgence svp car je dois rendre cette exercice pour demain car il sera notée . merci cordialement.

Bonjour ;

Prélude :

Considérons le repère orthogonal (A ; AB ; AD ; AE) ;
donc on a : A(0 ; 0 ; 0) , B(a ; 0 ; 0) , D(0 ; a ; 0) , C(a ; a ; 0) ,
E(0 ; 0 ; a) , F(a ; 0 ; a) , H(0 ; a ; a) , G(a ; a ; a) .

P est le milieu de [EG] , donc on a : P(a/2 ; a/2 ; a) .
Q est le milieu de [BG] , donc on a : Q(a ; a/2 ; a/2) .
M est le milieu de [PQ] , donc on a : M(3/4 a ; a/2 ; 3/4 a) .

1)

PQ = AQ - AP ;
donc : PQ(a - a/2 ; a/2 - a/2 ; a/2 - a) ;
donc : PQ(a/2 ; 0 ; - a/2) ;
donc : PQ² = (a/2)² + 0² + (a/2)² = a²/4 + a²/4 = a²/2 ;
donc : PQ = a/√2 = a (√2)/2 .

AP(a/2 ; a/2 ; a) ;
donc : AP² = a²/4 + a²/4 + a² = 6/4 a² ;
donc : AP = (√6)/2 a .

AQ(a ; a/2 ; a/2) ;
donc : AQ² = a² + a²/4 + a²/4 = 6/4 a² ;
donc : AQ = (√6)/2 a .

2)

PQ² = (AQ - AP)² = AQ² + AP² - 2 AQ AP cos(PAQ) ;
donc : a²/2 = 6/4 a² + 6/4 a² - 2 a (√6)/2  *  a (√6)/2  cos(PAQ)
= 3/2 a² + 3/2 a² - 2 a² (√6)²/4 cos(PAQ)
= 3a² - 3a² cos(PAQ)
donc : a²/2 - 3a² = - 3a² cos(PAQ) ;
donc : - 5/2 a² = - 3a² cos(PAQ) ;
donc : cos(PAQ) = 5/6 ;
donc : PAQ ≈ 33,56° ≈ 34° .

3)

Soit S l'aire du triangle APQ ;
donc : S = 1/2 AP * AQ sin(PAQ) = 1/2 a (√6)/2 * a (√6)/2 sin(PAQ)
= 1/2 a² * 6/4 sin(PAQ) = 3/4 a² sin(PAQ) .

On a : sin²(PAQ) = 1 - cos²(PAQ) = 1 - (5/6)² = 1 - 25/36 = 11/36 ;
donc : sin(PAQ) = (√11)/6 .

On a donc : S = 3/4 a² (√11)/6 = (√11)/8 a² .

1) Montrer que PQ = (a√2)/2 ; puis que AP = AQ = (a√6)/2

déterminons tout d'abord  EG et BG

soit le triangle EHG rectangle en H ⇒ application du théorème de Pythagore

EG² = EH² + HG² = a² + a² = 2 a² ⇒ EG = a√2

puisque les côtés du cubes sont les mêmes ⇒ EG = BG = EB = a √2

 maintenant on veut montrer que (PQ) // (EB) ⇒ réciproque du théorème de Thalès

 GP/GE = GQ/GB  

  (a√2)/2/a√2 = (a√2)/2/a√2 
     
         1/2       = 1/2                ⇒ donc (PQ) // (EB) 

 puisque P et Q sont des centres des faces EFGH et BCGF

 ⇒ GP = EP  et GQ = BQ

puisque (PQ) // (EB) ⇒ application du théorème de Thalès

 GP/GE = PQ/EB ⇒ PQ = GP x EB/GE = (a√2)/2  x (a√2)/a√2 √√= a√2)/2

⇒ PQ = a√2)/2√

 soit le triangle AEP rectangle en E ⇒ théorème de Pythagore

AP² = AE² + EP² = a² + (a√2/2)² = a² + (2 a²)/4 = 4 a² + 2 a²)/4 = 6 a²/4

 ⇒ AP = √6 a²/4 = (a√6)/2

soit le triangle ABQ rectangle en B ⇒ théorème de Pythagore

AQ² = AB² + BQ² = a² + (a√2/2)² = a² + (2 a²)/4 = 4 a² + 2 a²)/4 = 6 a²/4

 ⇒ AQ = √6 a²/4 = (a√6)/2

⇒ donc  AP = AQ = (a√6)/2

 2) calculer la valeur approchée au degré près de l'angle ^PAQ

soit le triangle PAM rectangle en M

 sin ^PAM = PM/AP = a√2/4/a√6/2√ = √2/2√6 = 0.2886 ⇒ ^ PAM = 16.776°

^ PAQ = 2 x ^PAM = 2 x 16.776 = 33.55°

 ⇒ valeur approchée au degré près ⇒ ^ PAQ = 34°

3) donner en fonction de a la valeur exacte de l'aire du triangle

 AM² = AP² + PM² = (a√6/2)² + (a√2/4)² = 6 a²/4 + 2 a²/16 = 24 a² + 2 a²)/16

⇒ AM² = 26 a²/16 ⇒ AM = a√26/4

L'aire du triangle PAQ = 1/2) x PQ x AM = 1/2 x a√2/2 x a√26/4 = 2 a² √13/16

 ⇒ A = a²√13/8