Bonjour est ce que quelqu’un pourais m’aider car ça est un dm pour demain, merci d’avance! C’est le num 62

Bonjour,
on nomme f la fonction définie sur ]0;1[ telle que:
f(x)=4/x-9/(x-1)=
Cette fonction est dérivable sur ]0;1[ et f' sa dérivée:
f'(x)=(f(x))'
f'(x)=(4/x-9/(x-1))'
f'(x)=-4/x²+9/(x-1)²

Nous allons chercher à connaître pour quelle valeur de x de ]0;1[ f' s'annule-t-elle:
f'(x)=0

-4/x²+9/(x-1)²=0
(-4(x-1)²+9x²)/(x²(x-1)²)=0
-4(x-1)²+9x²=0
-4(x²-2x+1)+9x²=0
-4x²+8x-4+9x²=0
5x²+8x-4=0
Δ=b²-ac=(8)²-4(5)(-4)=144
x(1)=(-8+12)/10=0.4x(2)=(-8-12)/10=-2∉]0;1[
On a donc un point d'abscisse 0.4 pour lequel f' s'annule donc f atteint un extrema. Il ne reste qu'à étudier le signe de:
f(x)-f(0.4)=4/x-9/(x-1)-(4/0.4-(9/(0.4-1))
f(x)-f(0.4)=4/x-9/(x-1)-25
f(x)-f(0.4)=(4(x-1)-9x)-25x(x-1))/(x(x-1))
f(x)-f(0.4)=(4x-4-9x-25x²-25x)/(x(x-1))
f(x)-f(0.4)=(-25x²30x-4)/(x(x-1))
f(x)-f(0.4)=(25x²+30x+4)/(x(1-x))
∀x∈]0;1[ x(1-x)>0 et 25x²+30x+4≥0 donc nous pouvons écrire que:
f(x)-f(0.4)≥0
f(x)-25≥0
f(x)≥25
4/x-9/(x-1)≥25---->CQFD