Bonjour, Soit (X,Y) un vecteur gaussien de loi N₂(0,I₂) On pose [tex] Z=X1_{]-\infty,0]}(Y)-X1_{]0,+\infty[}(Y) [/tex] 1 - Montrer que Z suit une loi N(0,1) 2 -

1) X est une v.a. suivant la loi Normale centrée-réduite N(0,1)
de même Y suit la loi N(0,1) de densité de probabilité Ф(x)=1/√(2π).exp(-x²/2)
soit k un réel quelconque, 
si k≤0 alors P(Z≤k)=p(X.1-0≤k)=p(X≤k)

si k>0 alors P(Z≤k)=p(0-X.1≤k)=p(-X≤k)=p(X≥-k)=p(X≤k) par symétrie
ainsi Z suit la loi normale N(0,1)

2) cov(XZ)=E(XZ)-E(X)E(Z)=∫xz.Ф(xz)-∫xФ(x).∫zФ(z)=(∫x²Ф(x²)+∫(-x²)Ф(-x²))-∫xФ(x).(∫xФ(x)+∫(-x)Ф(-x))=∫x²Ф(x²)-∫x²Ф(x²)-(∫xФ(x))²-(∫xФ(x))²=0

3) bien sûr, le couple (X,Y) n'est pas indépendant même si cov(X,Z)=0 
(attention !)
en effet, si (X,Y)=(0,1) ou (X,Y)=(1,0) alors les intégrales ne commutent pas !
en revanche (X,Z) est un couple Gaussien puisque l'on peut le scinder sur ]-∞;0] et sur ]0;+∞[ en 2 fonctions génératrices gaussiennes.