Bonjour, Soit E: 10x-13y=3 Déterminer les couples (x,y) soluntion de E tels que pgcd x et y égale a 1

Bonjour,

On commence par résoudre (E):10x-13y=1 

On remarque que PGCD(13,10)=1 donc on peut appliquer l'algorithme de Bézout pour trouver une solution (x,y) = (4,3)

En multipliant par 3 de chaque coté, on 10*(3x)-13(3y)=3 donc on a (x0,y0)=12,9
 
Ainsi, 10(x0-x)=13(y0-y) ⇒ 10(12-x)=13(9-y)
donc 13 divise (12-x) et 10 divise 9-y 
donc il existe k et k' relatifs tels que 12-x=13k et 9-y=10k'
donc il existe k et k' relatifs tels que x=12-13k et y=9-10k'

On trouve aussi que k=k'

Au final les couples (x,y) tels que PGCD(x,y)=1 sont de la forme 

[tex] \left \{ {x=12-13k} \atop {y=9-10k}} \right. [/tex] tel que k est un relatif non-multiple de 3.