Bonjour Déterminer toutes les fonctions continues f telles que: f(2017)=2017^2016 et Quelque soient x et y de IR on a: f(x+y)=f(x)+f(y) Je veux des indications

Bonjour ;

On a : 
[tex]f(x+y) = f(x) + f(y) [/tex]
donc on a :
[tex] \dfrac{\partial f(x+y)}{y} = \dfrac{\partial f(x)}{y} + \dfrac{\partial f(y)}{y} = 0 + f'(y) [/tex]
donc en tendant y vers 0 on a :
[tex]f'(x) = f'(0) [/tex]
donc en intégrant par rapport à x , on a :
[tex]f(x) = f'(0) x + c \textit{ avec c une constante reelle .} [/tex]
On a : f(0) = f(0 + 0) = f(0) + f(0) ;
donc : c = 2c ;
donc : c = 0 ;
donc : f(x) = f ' (0) x .
On a : f(2017) = f ' (0) * 2017 = 2017^(2016) ;
donc : f ' (0) = 2017^(2015) ;
donc : f(x) = 2017^(2015) x .