Bonjour, Dans un repère Orthonormé, on donne les point : M(-1;2), N(5;4), P(2;-3) 1. Calculez les coordonées du point : a) Q tel que MNPQ soit un parallèlogramm

Bonjour

♧1a. MNPQ est un parallélogramme si et seulement si ses diagonales [MP] et [NQ] se coupe en leur milieu, on a donc :

● [tex] K [/tex] milieu de [tex] [MP] [/tex] :

[tex] x_{K} = \frac {-1+2}{2} \; \; ; \; y_{K} = \frac {2-3}{2} [/tex]

[tex] x_{K} = \frac {1}{2} \; \; ; \; y_{K} = - \frac {1}{2} [/tex]

--> [tex] K (0,5 ; - 0,5) [/tex]

● [tex] K [/tex] milieu de [tex] [NQ] [/tex] avec [tex] Q (x;y) [/tex] :

[tex] x_{K} = \frac {5+x_{Q}}{2} \; \; ; \; y_{K} = \frac {4+y^{Q}}{2} [/tex]

[tex] 0,5 = \frac {5+x_{Q}}{2} \; \; ; \; - 0,5 = \frac {4+y^{Q}}{2} [/tex]

[tex] 1 = 5+x_{Q} \; \; ; \; - 1 = 4+y^{Q} [/tex]
[tex] - 4 = x_{Q} \; \; ; \; - 5 = y_{Q} [/tex]
--> [tex] Q (- 4 ; - 5) [/tex]

♧1b. Même raisonnement que la 1a --> ( À toi de faire ), mais néanmoins on trouve [tex] R (2;9) [/tex]

♧2a. Méthode par supposition...

● Supposant que [tex] L [/tex] soit le milieu de [tex] [QR] [/tex], on a donc :
[tex] x_{L} = \frac {-4+2}{2} \; \; ; \; y_{L} = \frac {-5+9}{2} [/tex]

[tex] x_{K} = \frac {-2}{2} \; \; ; \; y_{K} = \frac {4}{2} [/tex]
[tex] x_{K} = - 1 \; \; ; \; y_{K} = 2 [/tex]

--> On a donc [tex] L ( - 1; 2 ) [/tex] d'où L = M

♧2b. Sans les coordonnées ( Méthode vectorielle ) :

--> Sachant que MNPQ est un parallélogramme on a donc QM = PN par définition...

--> De même sachant que MRNP est un parallélogramme on a donc MP = PN par définition...

On a donc :
QM = PN
MP = PN
D'où
QM = MP et donc M est le milieu de [QR]

Voilà ^^