Bonjour, je bloque pour l'heredité: On considère la suite (Un) definie par Uo=0 et pour tout entier naturel n, Un+1= Un^2 +1 Demontrez par recurence que pour to
Mathématiques
raniarano5271
Question
Bonjour, je bloque pour l'heredité: On considère la suite (Un) definie par Uo=0 et pour tout entier naturel n, Un+1= Un^2 +1
Demontrez par recurence que pour tout entier n superieur ou egale à 4, Un supérieur ou egal à 2^n
U1=1
U2=2
U3=5
U4=26
Initialisation:
n=4
U4=26
2^4=16
Donc p(4) vraie!
Heredité:
Un supérieur ou egal à 2^n
Et on doit arrive à un+1 supérieur ou egal a 2^n+1
Pouvez vous m'aider pour l'hérédité je suis bloque
Demontrez par recurence que pour tout entier n superieur ou egale à 4, Un supérieur ou egal à 2^n
U1=1
U2=2
U3=5
U4=26
Initialisation:
n=4
U4=26
2^4=16
Donc p(4) vraie!
Heredité:
Un supérieur ou egal à 2^n
Et on doit arrive à un+1 supérieur ou egal a 2^n+1
Pouvez vous m'aider pour l'hérédité je suis bloque
1 Réponse
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1. Réponse scoladan
Bonjour,
hypoyhèse : pour tout n ≥ 4, Un ≥ 2ⁿ
⇒ Un² ≥ (2ⁿ)² ⇔ Un ≥ 2²ⁿ
Un+1 = Un² + 1
⇒ Un+1 ≥ 2²ⁿ + 1
Or 2²ⁿ + 1 - 2ⁿ⁺¹ = 2ⁿ(2ⁿ - 2) + 1 donc est ≥ 0 pour tout n ≥ 1
⇒ 2²ⁿ + 1 ≥ 2ⁿ⁺¹
⇒ Un+1 ≥ 2ⁿ⁺¹