J'ai un devoir à faire mais je n'y arrive pas, j'ai eu quelques idées mais les résultats obtenus ne sont pas logiques quand on prends en compte l'énoncé. Je vou
Question
Nous avons un cône de hauteur 24 cm et de rayon 8 cm, à l'intérieur de celui-ci, un cylindre de hauteur h et de rayon r
1. Exprimer le rayon r du cylindre en fonction de sa hauteur h (pour celle ci je pense devoir utiliser Thalès mais le résultat semble faux)
2. Pour quelle valeur de h le volume du cylindre est-il maximum ? (pour celle ci je pense devoir exprimer une fonction pour connaître le volume du cylindre en fonction de h en remplacant r par le résultat de la question 1 et ensuite de trouver son maximum)
Voila, j'aimerais bien avoir un petit peu d'aide, je vous remercie d'avance.
1 Réponse
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1. Réponse taalbabachir
1) exprimer r en fonction du cylindre
en utilise le théorème de Thalès
(R - r)/R = h/H ⇔ (R - r)*H = R*h ⇔ R - r = R*h/H ⇒ r = R - R*h/H
R ; H : rayon et hauteur du cône
R = 8 cm et H = 24 cm
⇒ r = 8 - 8*h/24 ⇒ r = 8 - h/3
⇒ r = 8 - (1/3)*h
2) pour quelle valeur de h le volume du cylindre est - il maximum
le volume du cylindre est V = π * r² * h
posons h = x
⇒ V = π *(8 - x/3)²*x
soit V = f (x) = 3.14(64 - 16x/3 + x²/9)*x
f (x) = 200.96 x - 16.75 x² + 0.35 x³
f ' (x) = 200.96 - 33.5 x + 1.05 x²
f '(x) = 0 = 1.05 x² - 33.5 x + 200.96
Δ = 33.5² - 4 * 200.96*1.05 = 1122.25 - 844.03 = 278. 22 ⇒√278.22 = 16.7
x1 = 33.5 - 16.7)/2.1 = 8
x2 = 33.5 + 16.7)/2.1 = 23.9 ≈ 24 cm hauteur du cône
f (8) = 200.96 *8 - 16.75 8² + 0.35 8³ = 1607.68 - 1072 + 179.2 = 714.88
donc pour h = 8 cm ⇒ Vmax = 714.88 cm³