Bonjour, je cherche à résoudre un exercice un peu compliqué pour moi étant donné qu'on a pas beaucoup fait d'exercice l'année dernière sur les suites. On consid
Mathématiques
gaellehounka3985
Question
Bonjour, je cherche à résoudre un exercice un peu compliqué pour moi étant donné qu'on a pas beaucoup fait d'exercice l'année dernière sur les suites.
On considère la suite définie par : 3U(n+2) = 4U(n+1) - U(n) , U(0) = 0 et U(1) = 2/3,
Déterminer en fonction de n la suite (Un) ainsi que sa limite .
Je voudrais savoir s'il y a une méthode à appliquer pour passer d'une suite définie de façon récursive en une suite définie de façon explicité. Merci d'avance.
On considère la suite définie par : 3U(n+2) = 4U(n+1) - U(n) , U(0) = 0 et U(1) = 2/3,
Déterminer en fonction de n la suite (Un) ainsi que sa limite .
Je voudrais savoir s'il y a une méthode à appliquer pour passer d'une suite définie de façon récursive en une suite définie de façon explicité. Merci d'avance.
1 Réponse
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1. Réponse scoladan
Bonjour,
U₀ = 0, U₁ = 2/3, U₂ = 8/9, U₃ = 32/27 - 2/9 = 26/27, U₄ = 104/81 - 8/27 = 80/81...
On peut conjecturer pour tout n ≥ 1, Un = (3ⁿ - 1)/3ⁿ
Vrai au rang n = 1 : (3¹ - 1)/3¹ = 2/3
Et vrai au rang n = 2 : (3² - 1)/3² = 8/9
Hypothèse : Vrai au rang n et au rang (n+1)
Au rang (n+2) :
Un+2 = 4/3 x Un+1 - 1/3 x Un
= 4/3 x (3ⁿ⁺¹ - 1)/3ⁿ⁺¹ - 1/3 x (3ⁿ - 1)/3ⁿ d'après l'hypothèse de récurrence
= 4(3ⁿ⁺¹ - 1)/3ⁿ⁺² - (3ⁿ - 1)/3ⁿ⁺¹
= (4 x 3ⁿ⁺¹ - 4)/3ⁿ⁺² - 3(3ⁿ - 1)/3ⁿ⁺²
= (4 x 3ⁿ⁺¹ - 4 - 3ⁿ⁺¹ + 3)/3ⁿ⁺²
= (3 x 3ⁿ⁺¹ - 1)/3ⁿ⁺²
= (3ⁿ⁺² - 1)/3ⁿ⁺²
récurrence démontrée
On en déduit : lim Un quand n → +∞ = lim (3ⁿ - 1)/3ⁿ = lim (1 - 1/3ⁿ) = 1