Bonjour, Je suis en première S et j'ai un DM a rendre pour après les vacances mais je bloque sur un exercice: On cherche à résoudre l'équation (E): 2x4 + x3 - 6
Question
Je suis en première S et j'ai un DM a rendre pour après les vacances mais je bloque sur un exercice:
On cherche à résoudre l'équation (E): 2x4 + x3 - 6x2 + x +2=0
(E) est le nom de l'équation et n'est pas une fonction!
1) a) 0 est-il une solution de l'équation (E) ?
b) En déduire que l'équation (E) est équivalente à l'équation (E') : 2x2 + x-6+ 1/x + 2/x2=0
2) Montrer que l'équation (E') peut se mettre sous la forme: 2(x+1/x)2 + (x+1/x) + d=0 (d étant un nombre réel à déterminer)
3) En utilisant le changement de variable, résoudre alors l'équation (E') et donc l'équation (E).
Merci de bien vouloir m'aider
1 Réponse
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1. Réponse scoladan
Bonjour,
1a)a) x = 0 n'est pas solution
b) donc on peut diviser par x² ≠ 0
⇒ (E) devient (E') : 2x⁴/x² + x³/x² - 6x²/x² + x/x² + 2/x² = 0/x²
soit (E') : 2x² + x - 6 + 1/x + 2/x² = 0
2) A = 2(x + 1/x)² + (x + 1/x) + d
= 2(x² + 2 + 1/x²) + x + 1/x + d
= 2x² + 4 + 2/x² + x + 1/x + d
Donc en posant 4 + d = -6, soit d = -10, on vérifie bien que :
(E') ⇔ A = 0
3) En posant X = x + 1/x :
A = 0
⇔ 2X² + X - 10 = 0
Δ = 1² - 4x2x(-10) = 81 = 9²
⇒ 2 racines X₁ = (-1 - 9)/4 = -5/2 et X = (-1 + 9)/4 = 2
On en déduit :
x + 1/x = -5/2 OU x + 1/x = 2
⇒ x² + 5x/2 + 1 = 0 ⇒ x² - 2x + 1 = 0
Δ₁ = 25/4 - 4 = (3/2)² ⇔ (x - 1)² = 0
⇒ x₁ = (-5/2 - 3/2)/2 = -2 ⇒ x₃ = 1
et x₂ = (-5/2 + 3/2)/2 = -1/2
Donc (E) a pour solutions {-2, -1/2 , 1}