Bonjour, j'ai besoin d'aide pour les questions 2)b et 3), 4) et 5). Merci beaucoup pour votre aide.

Bonjour,

2)a)

Vn = 1/Un

⇒ Vn+1 = 1/Un+1 = (2 + 3Un)/2Un = 1/Un + 3/2 = Vn + 3/2

⇒ (Vn) suite arithmétique de raison r = 3/2 et de 1er terme V₀ = 1/U₀ = 1/2

b) Vn = 1/2 + 3n/2 = (3n + 1)/2

et Un = 1/Vn = 2/(3n + 1)

3) Un+1 - Un

= 2/(3(n+1) + 1) - 2/(3n + 1)

= 2/(3n + 4) - 2/(3n + 1)

= [2(3n + 1) - 2(3n + 4)]/(3n + 4)(3n + 1)

= -6/(3n + 4)(3n + 1)

Donc Un+1 - Un < 0 car (3n + 4)(3n + 1) > 0 pour tout n ∈ N

(Un) est donc décroissante

4) on conjecture lim Un = 0

5) 0 < Un ≤ 10⁻⁶

⇒ 2/(3n + 1) ≤ 10⁻⁶

⇒ 3n + 1 ≥ 2/10⁻⁶

⇔ n ≥ (2.10⁶ - 1)/3

soit n ≥ 666666,33...

et donc N₀ = 666 667