Voici un exercice difficile . Je n'arrive pas à le faire. Aidez moi s'il vous plaît. : On considère la fonction f définie sur R par : [tex]f(x) = - x ^2 + 6x +

soit la fonction f définie sur R par : f (x) = - x² + 6 x + 7

1) Montrer que pour tout x  ∈ R

f (x) = (7 - x)(x + 1) 

f (x) = - x² + 6 x + 7 = 0

Δ = 36 + 28 = 64 ⇒ √64 = 8

 x1 = (- 6 + 8)/- 2 = 2/-2 = - 1

 x2 = (- 6 - 8)/- 2 = - 14/- 2 = 7

 on peut écrire f (x) = a(x - x1)(x - x2) = - 1(x - 7)(x + 1) = - (-)(7 - x)(x + 1)

 ⇒ donc f (x) = (7 - x)(x + 1)

 f (x) = 16 - (x - 3)²  forme canonique

 la forme générale est : f (x) = β + a(x - α)²

 α = - b/2a = - 6/- 2 = 3

 β = f (α) = f (3) = - (3)² + 6(3) + 7 = - 9  + 18 + 7 = 16

 f (x) = 16 - (x - 3)²

 2) choisir la forme la mieux adaptée

 a) déterminer l'intersection de la courbe représentative de f avec l'axe des ordonnées

 f (0) =  - (0)² + 6(0) + 7 = 7    (0 ; 7)

 b) déterminer l'intersection de la courbe représentative de f avec l'axe des abscisses

 f (x) = 0 = (7 - x)(x + 1) ⇒ 7 - x = 0 ⇒ x = 7  ; x + 1 = 0 ⇒ x = - 1

 (7 ; 0)  et  (- 1 ; 0)

 c) déterminer les coordonnées du sommet S de la parabole

 A partir de f(x) = 16 - (x - 3)²  forme canonique, on peut déterminer le sommet  S de la parabole  qui est S(3 ; 16)

 d) déterminer les variations de la fonction f

 x       - ∞                          3                      + ∞


f (x)  - ∞→→→→→→→ 16 →→→→→→ - ∞

             croissante                décroissante