Bonjour tout le monde, je suis au début d'un chapitre sur les ensembles et les applications et je dois calculer l'application f o g(x) avec : f(x) = ln(1 + e(x)
Mathématiques
luscat6175
Question
Bonjour tout le monde, je suis au début d'un chapitre sur les ensembles et les applications et je dois calculer l'application f o g(x) avec :
f(x) = ln(1 + e(x))
Et g(x) = - x
Je trouve donc f o g(x) = ln( 1 + e(-x)) seulement je n'arrive pas à simplifier plus que ça sachant que la question d'après demande de montrer que f(x) - f o g(x) = x
Est ce que quelqu'un saurait comment faire s'il vous plaît ?
Merci d'avance !
f(x) = ln(1 + e(x))
Et g(x) = - x
Je trouve donc f o g(x) = ln( 1 + e(-x)) seulement je n'arrive pas à simplifier plus que ça sachant que la question d'après demande de montrer que f(x) - f o g(x) = x
Est ce que quelqu'un saurait comment faire s'il vous plaît ?
Merci d'avance !
1 Réponse
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1. Réponse ferrarirouge
Bonjour,
je tape le "rond" avec le degré : f°g
en effet f ° g (x) = ln (1+ exp(-x))
(f - f°g)(x) = f(x) - f°g(x)
= ln (1+exp(x)) - ln (1+exp(-x))
// on sait que ln(a) - ln(b) = ln (a/b)
d'où : (f - f°g)(x) = ln ( (1+exp(x)) / 1+exp(-x) )
//on multiplie par 1+exp(-x) en haut et en bas
= ln [(1+ exp(x)+ exp(-x)+ exp(x)*exp(-x)) / (1+ 2exp(-x)+ exp(-x) ^2) ]
= ln [(1+ exp(x)+ exp(-x)+ exp(0) ) / ( 1+ 2exp(-x)+ exp(-2x) ]
= ln [(2 + exp(x)+ exp(-x) ) / (1 + (2+exp(-x))exp(-x) )]
= ln (exp(x))
= x
Autre méthode :
(f - f°g)(x) = ln ( (1+exp(x)) / 1+exp(-x) )
// on factorise par exp(x)
= ln ( exp(x) * ((1/exp(x) +1) / 1 + exp(-x)) )
//on multiplie par 1+exp(-x) en haut et en bas
= ln (exp(x) * [1/exp(x) + 1 + exp(-x)/exp(x) + exp(-x)] )
= ln (exp(x) * [exp(-x) + 1 + exp(-2x) + exp(-x)] )
= ln (exp(x) * 1 )
= ln (exp(x))
= x
// en utilisant : 1/e(x) = e(-x)
// et exp(a)/exp(b) = exp(a-b)