salut à tous j'ai besoin d'aide pour résoudre cet exercice

Bonjour,

1) La fonction est discontinue en -1 mais continue en 1.

En effet,

[tex] \lim_{_{x \to 1,x>1}} f(x) = \lim_{_{x \to 1,x>1}} x^2-x=1-1=0\\

\lim_{_{x \to 1,x<1}} f(x)= \lim_{_{x \to 1,x<1}} {x*\sqrt{\dfrac{1-x}{1+x} } } \\

=1*\dfrac{0}{2}=0\\
[/tex]

[tex] \lim_{_{x \to -1,x>-1}} f(x)= \lim_{_{x \to -1,x>-1}} {x*\sqrt{\dfrac{1-x}{1+x} } } \\

= -1\sqrt{\dfrac{1+1}{0}} =-\infty\\

\lim_{_{x \to -1,x<-1}} x^2-x=1+1=2\\

[/tex]

2) la fonction est continue sur [tex] \mathbb{R} -\{-1\} [/tex]

la continuité d'une fonction en un point a

soit f une fonction définie sur I et soit a ∈ I

f est continue en a ssi f a une limite en a égale à f (a)

lim f(x) = f(a)

x→a

en particulier f est continue en a ssi lim f (x) = lim f(x) = f(a)

x →a x< a x→a x>a

dans le cas de l'exercice donné f (x) = x*√(1 - x)/(1+x) si |x| < 1

f (x) = x² - x si |x| ≥ 1

1) Etudier la continuité de f en - 1 et 1

on sait |x| < 1 ⇒ si x > 0 ⇒ x < 1

⇒ si x < 0 ⇒ - x < 1 ⇒ x > - 1

lim f (x) = lim x*√(1 - x)/(1+x) = 1 *√(1-1)/(1 + 1) = 1*√0/2 = 0 ⇒ f est continue en 1

x→1 x<1 x→1 x<1

lim f (x) = lim x*√(1 - x)/(1+x) = - 1 *√(1+1)/(1 - 1) = -1*√2/0 = - ∞

x→ -1 x>-1 x→ -1 x> - 1

on voit bien qu'en - 1 f n'est pas continue

|x| ≥ 1 ⇒ si x > 0 ⇒ x ≥ 1

⇒ si x < 0 ⇒ - x ≥ 1 ⇒ x ≤ - 1

lim f (x) = lim x² - x = 1 - 1 = 0

x→1 x ≥ 1 x→ 1 x ≥1

lim f (x) = lim x² - x = 1 + 1 = 2

x→ - 1 x < - 1

la fonction f est continue en 1 mais elle est discontinue en - 1

2) f est continue sur l'intervalle R - {- 1}