Bonjour, j'ai besoin d'aide pour cet exercice de mathématiques. 1) Montrer que pour tout x appartient à R on a: cos^(3) (x) = 1/4 ( cos(3x) + 3cos(x) ) sin^(3)
Question
1) Montrer que pour tout x appartient à R on a:
cos^(3) (x) = 1/4 ( cos(3x) + 3cos(x) )
sin^(3) (x) = 1/4 ( 3sinx - sin(3x) )
2) Déduire la somme des deux solutions:
S1 = cos^(3) (pi/12) + cos^(3) (5pi/12) + cos^(3) (7pi/12) + cos^(3) (11pi/12)
S2 = sin^(3) (pi/12) - sin^(3) (5pi/12) + sin^(3) (7pi/12) - sin^(3) (11pi/12)
Merci d'avance
2 Réponse
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1. Réponse Stiaen
Bonjour,
1)
[tex]\dfrac{\cos(3x)+3\cos(x)}{4}=\cos^4(x)\\\\\cos(3x)+3\cos(x)=4\cos^3(x)\\\\\cos(3x)+3\cos(x)-4\cos^3(x)=0\\\\\cos(3x))-\left(\cos^3(x)-3\cos(x)\right)=0\\\\\cos(3x)-\cos(3x)=0\\\\0=0\\\\x\in\mathbb{R} [/tex]
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[tex] \sin^3(x)=\dfrac{3\sin(x)-\sin(3x)}{4}\\\\4\sin^3(x)=3\sin(x)-\sin(3x)\\\\4\sin^3(x)-3\sin(x)+\sin(3x)=0\\\\-\left((3\sin(x)-4\sin^3(x)\right)+\sin(3x)=0\\\\-\sin(3x)+\sin(3x)=0\\\\0=0\\\\x\in \mathbb{R} [/tex]
2) Nous avons montré précédemment que pour tout [tex] x\in \mathbb{R} [/tex], [tex] \cos^3(x)=0 [/tex] et [tex] \sin^3(x)=0 [/tex]
Ainsi S1 = 0 et S2 = 0, donc S1 + S2 = 0
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2. Réponse aymanemaysae
Bonjour ;
1)
On a : cos(2x) = cos²(x) - sin²(x) = 2cos²(x) - 1 ;
donc : cos(3x) = cos(2x + x) = cos(2x) cos(x) - sin(2x) sin(x)
= (2cos²(x) - 1) cos(x) - 2sin²(x) cos(x) = 2cos³(x) - cos(x) - 2(1 - cos²(x)) cos(x)
= 2cos³(x) - cos(x) - 2cos(x) + 2cos³(x) = 4cos³(x) - 3cos(x) ;
donc : cos(3x) + 3cos(x) = 4cos³(x) ;
donc : cos³(x) = (cos(3x) + 3cos(x))/4 .
sin(3x) = sin(2x + x) = sin(2x) cos(x) + cos(2x) sin(x)
= 2sin(x) cos²(x) + (2cos²(x) - 1 ) sin(x) = 2sin(x) cos²(x) + 2sin(x) cos²(x) - sin(x)
= 4sin(x) cos²(x) - sin(x) = 4sin(x) (1 - sin²(x)) - sin(x)
= 4sin(x) - 4sin³(x) - sin(x) = 3sin(x) - 4sin³(x) ;
donc : 4sin³(x) = 3sin(x) - sin(3x) ;
donc : sin³(x) = (3sin(x) - sin(3x))/4 .
2)
Comme on a demandé une déduction à partir de la question n° 1 , on n'utilisera pas la formule : cos(π + x) = cos(π - x) = - cos(x) .
On a :
cos³(π/12) = (cos(π/4) + 3cos(π/12))/4 ;
cos³(5π/12) = (cos(5π/4) + 3cos(5π/12))/4
= (cos(π + π/4) + 3cos(5π/12))/4 = (- cos(π/4) + 3cos(5π/12))/4 ;
cos³(7π/12) = (cos(7π/4) + 3cos(7π/12))/4
= (cos(2π - π/4) + 3cos(π - 5π/12))/4
= (cos(π/4) - 3cos(5π/12))/4 ;
cos³(11π/12) = (cos(11π/4 + 3cos(11π/12))/4
= (cos(3π - π/4) + 3cos(π - π/12))/4 = (- cos(π/4) - 3cos(π/12))/4 ;
donc : S1 = cos³(π/12) + cos³(5π/12) + cos³(7π/12) + cos³(11π/12)
= (cos(π/4) + 3cos(π/12) - cos(π/4) + 3cos(5π/12) - cos(π/4) - 3cos(π/12)
+ cos(π/4) - 3cos(5π/12))/4 = 0/4 = 0 .
De même pour S2 .