Bonjour à tous et à toutes voici mon problème : Je dois démontrer par récurrence que avec n >1 , 3^2n+2 -2^n+1 est divisible par 7 . Voilà j'ai donc fait l'init
Mathématiques
faessaifi9407
Question
Bonjour à tous et à toutes voici mon problème :
Je dois démontrer par récurrence que avec n >1 , 3^2n+2 -2^n+1 est divisible par 7 .
Voilà j'ai donc fait l'initialisation pr n=1 on 3^6 - 2^3 = 721 qui est divisible par 7 donc p1 est vraie
Hérédité : on suppose que 3^2n+2 -2^n+1
On veut montrer que 3^2n+4 -2^n+2 est égal à 7k'
Puis j'ai essayé beaucoup de choses avec les puissances en m'appuyant sur d'autres sites mais je n'ai pas réussi du tout . Si vous voulez les traces de ce que j'ai fait demandez moi
Et merci de votre réponse bonne soirée
Je dois démontrer par récurrence que avec n >1 , 3^2n+2 -2^n+1 est divisible par 7 .
Voilà j'ai donc fait l'initialisation pr n=1 on 3^6 - 2^3 = 721 qui est divisible par 7 donc p1 est vraie
Hérédité : on suppose que 3^2n+2 -2^n+1
On veut montrer que 3^2n+4 -2^n+2 est égal à 7k'
Puis j'ai essayé beaucoup de choses avec les puissances en m'appuyant sur d'autres sites mais je n'ai pas réussi du tout . Si vous voulez les traces de ce que j'ai fait demandez moi
Et merci de votre réponse bonne soirée
1 Réponse
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1. Réponse scoladan
Bonjour,
initialisation pour n = 2 (et pas 1 car n > 1) : ok
Hypothèse : Propriété vraie au rang n, soit
3²ⁿ⁺² - 2ⁿ⁺¹ est divisible par 7, soit = 7k (avec k ∈ Z)
Au rang (n+1) :
3²⁽ⁿ⁺¹⁾ ⁺² = 3²ⁿ⁺⁴ = 3²ⁿ⁺² x 3²
et 2⁽ⁿ⁺¹⁾ ⁺¹ = 2ⁿ⁺² = 2ⁿ⁺¹ x 2
Or 3² = 9 = 7 + 2
Donc 3²ⁿ⁺⁴ = (7 + 2)3²ⁿ⁺²
On en déduit : 3²ⁿ⁺⁴ - 2ⁿ⁺² = 7 x 3²ⁿ⁺² + 2 x 3²ⁿ⁺² - 2 x 2ⁿ⁺¹
= 7 x 3²ⁿ⁺² + 2(3²ⁿ⁺² - 2ⁿ⁺¹)
= 7 x 3²ⁿ⁺² + 2 x 7k
= 7 x (3²ⁿ⁺² + 2k)
donc divisible par 7
⇒ récurrence démontrée