Bonjour j'ai besoin d'aide sur un exercice de trigonométrie : M est le point du cercle trigonométrique associé au nombre réel x. Ses coordonnées dans le repère
Mathématiques
Another20
Question
Bonjour j'ai besoin d'aide sur un exercice de trigonométrie :
M est le point du cercle trigonométrique associé au nombre réel x.
Ses coordonnées dans le repère orthonormé (O, I, J) sont (cos x ; sin x).
On nomme B le point de coordonnées (cos x ; 0) et le C le point de coordonnées (0 ; sin x).
1) On supposé que x appartient à l'intervalle [0 ; pi/2].
En utilisant le théorème de Pythagore, démontrer la relation fondamentale: cos^2 x + sin^2 x = 1.
2) Démontrer la relation précédente dans le cas où x appartient à l'intervalle [pi/2 ; pi].(Remarquer qu'ici OB = -cos x.)
3) Démontrer enfin la relation lorsque x appartient à l'intervalle [pi ; 3pi/2] puis lorsque x appartient à l'intervalle [3pi/2 ; 2pi].
M est le point du cercle trigonométrique associé au nombre réel x.
Ses coordonnées dans le repère orthonormé (O, I, J) sont (cos x ; sin x).
On nomme B le point de coordonnées (cos x ; 0) et le C le point de coordonnées (0 ; sin x).
1) On supposé que x appartient à l'intervalle [0 ; pi/2].
En utilisant le théorème de Pythagore, démontrer la relation fondamentale: cos^2 x + sin^2 x = 1.
2) Démontrer la relation précédente dans le cas où x appartient à l'intervalle [pi/2 ; pi].(Remarquer qu'ici OB = -cos x.)
3) Démontrer enfin la relation lorsque x appartient à l'intervalle [pi ; 3pi/2] puis lorsque x appartient à l'intervalle [3pi/2 ; 2pi].
1 Réponse
-
1. Réponse greencalogero
Bonsoir, pour tout mon propose, je m'appuie sur le dessin en pièce jointe.
1) On se place dans le triangle OMB rectangle en M donc par Pythagore nous pouvons écrire que:
OM²=MB²+OB²
OM=1 car M est sur le cercle trigonométrique qui est toujours de rayon 1
MB=√[(cosx-cosx)²+(sinx-0)²]=sin(x)
OB=√[(cosx-0)²+(0-0)²]=cos(x)
On peut alors déduire que
1²=cos²x+sin²x---->CQFD
2) Si x∈[π/2;π] alors:
OM=1 car M sur le cercle trigonométrique
MB=√((-cos(x)-(-cos(x))²+(0-sin(x))²)=sin(x)
OB=√((-cos(x)-0)²+(0-0)²)=cos(x)
On retrouve alors la relation de Pythagore:
OM²=OB²+MB²
1=cos²x+sin²x--->CQFD
3) Si x∈[π;3π/2]
OM=1
OB=cos(x)
MB=√((-cos(x)-(-cos(x))²+(-sinx-0)²)=sin(x)
Donc:
OM²=OB²+MB²
1=cos²x+sin²x---->CQFD
Si x∈[3π/2;2π]
OM=1
OB=cos(x)
MB=√((cos(x)-cos(x))²+(-sin(x)-0)²)=sin(x)
On en déduit alors:
1=cos²(x)+sin²(x)---->CQFDAutres questions
