Salut les gens! Voilà en ce moment c'est la récurrence en classe mais pas la peine de me réexpliquer le principe (normalement ^^) néanmoins j'ai une question de
Mathématiques
bulmaaa7890
Question
Salut les gens! Voilà en ce moment c'est la récurrence en classe mais pas la peine de me réexpliquer le principe (normalement ^^) néanmoins j'ai une question de raisonnement, pour illustrer ma question je vais prendre un exemple :
"Montrer que pour tout n entier et supérieur à 1, 2^n>2n"
Bon je loupe les étapes on passe direct à l'hérédité :
On veut montrer que 2^(n+1)>2(n+1)
et là on "voit" que 2^(n+1)>2*2n=4n et que comme 4n>2n+ 2
2^(n+1)>2(n+1)
Bon voilà en gros ce que l'on pourrait faire avec un peu plus de rédaction, Ce que j'aimerais savoir, c'est si on peut commencer ainsi :
"Bon je loupe les étapes on passe direct à l'hérédité :"
On veut montrer que 2^(n+1)>4n
or on sait que 2^(n+1)> 2(n+1) donc tatati et tatata, ici la suite de l'exo ne fonctionnerait pas mais l'idée est là est-on nécessairement obliger de commencer par remplacer n par n+1?
J'espère avoir ét
"Montrer que pour tout n entier et supérieur à 1, 2^n>2n"
Bon je loupe les étapes on passe direct à l'hérédité :
On veut montrer que 2^(n+1)>2(n+1)
et là on "voit" que 2^(n+1)>2*2n=4n et que comme 4n>2n+ 2
2^(n+1)>2(n+1)
Bon voilà en gros ce que l'on pourrait faire avec un peu plus de rédaction, Ce que j'aimerais savoir, c'est si on peut commencer ainsi :
"Bon je loupe les étapes on passe direct à l'hérédité :"
On veut montrer que 2^(n+1)>4n
or on sait que 2^(n+1)> 2(n+1) donc tatati et tatata, ici la suite de l'exo ne fonctionnerait pas mais l'idée est là est-on nécessairement obliger de commencer par remplacer n par n+1?
J'espère avoir ét
1 Réponse
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1. Réponse scoladan
Bonjour,
en reprenant ton exp. :
Le principe est de partir de l'hypothèse de récurrence et de démontrer que la propriéte est alors vrais au rang n+1.
Hypothèse : 2ⁿ > 2n
⇒ 2 x 2ⁿ > 2 x 2n
⇔ 2ⁿ⁺¹ > 4n
Or 4n = 2(n + 1) + 2n - 2 = 2(n + 1) + 2(n - 1)
Et pour tout n ≥ 1, 2(n - 1) ≥ 0 ⇒ 2(n + 1) + 2(n - 1) ≥ 2(n + 1)
Donc, pout tout n ≥ 1, 4n ≥ 2(n + 1)
⇒ 2ⁿ⁺¹ > 4n ≥ 2(n + 1)
cqfd : propriété vraie au rang 1, et héréditaire, donc vraie pour tout n